固定頻率升壓轉換器非常適合于以恒流模式驅動LED串。這種轉換器采用不連續導電模式（DCM）工作，能夠有效地用于快速調光操作，提供比采用連續導電模式（CCM）工作的競爭器件更優異的瞬態響應。當LED導通時，DCM工作能夠提供快速的瞬態性能，為輸出電容重新充電，因而將LED的模擬調光降至最低。為了恰當地穩定DCM升壓轉換器，存在著小信號模型。然而，驅動LED的升壓轉換器的交流分析，跟使用標準電阻型負載的升壓轉換器的交流分析不同。由于串聯二極管要求直流和交流負載條件，在推導最終的傳遞函數時必須非常審慎。
本文（即第1部分）不會使用不連續導電模式（DCM）升壓轉換器的傳統小信號模型，而將使用基于所研究轉換器之輸出電流表達式的簡化方法。在第2部分（實際考慮），我們將深入研究應用方案，驗證測量精度，并與理論推導進行比較。
為LED串供電的升壓轉換器圖1顯示了驅動LED串的恒定頻率峰值電流工作模式升壓轉換器的簡化電路圖。輸出電流被感測電阻Rsense持續監測。相應的輸出電壓施加在控制電路上，持續調節電源開關的導通時間，以提供恒定的LED電流Iout.這就是受控的輸出變量。
圖1驅動LED串以發光的升壓轉換器。輸出電流被穩流至設定點值。
發光時，LED串會在LED連接的兩端產生電壓。這電壓取決于跟各個LED技術相關的閾值電壓VT0及其動態阻抗rd.因此，LED串兩端的總壓降就是各LED閾值電壓之和VZ，而而動態阻抗rLEDs表示的是LED串聯動態阻抗之和。圖2顯示的是采用的等效電路。您可以自己來對LED串壓降及其總動態阻抗進行特征描述。為了測量起見，將LED串電流偏置至其額定電流IF1.一旦LED達到熱穩定，就測量LED串兩端的總壓降Vf1.將電流改變為稍低值IF2并測量新的壓降VF2.根據這些值，您可計算出總動態阻抗，即：
 （1）
"齊納"電壓約等于LED串電壓VF1減去rLEDs與測量點電流之積：
 （2）
我們假定以100 mA電流來偏置我們的LED串。測量出的總壓降為27.5 V.我們將電流減小至80 mA，新得到的壓降值就是26.4 V.總動態阻抗的計算很簡單：
 （3）
根據等式（2），我們可以簡單地計算出齊納電壓：
 （4）
圖2：LED采用串聯連接，故需對它們的閾值電壓進行累加；而總動態阻抗是串聯連接的各個LED動態阻抗之和。
回頭再看圖1.LED串與感測電阻Rsense串聯。總交流（ac）阻抗因此就是兩者之和：
 （5）
圖3是大幅簡化的等效直流（dc）電路圖。直流輸出電壓Vout等于輸出電流Iout與電阻Rac之積再加齊納電壓：
 （6）
在交流條件下，由于齊納電壓恒定，故上述等式可簡化為：
 （7）
圖3：這直流簡化電路圖顯示了等效齊納二極管及其動態阻抗。
簡化模型電流源實際上指的是從輸入電源獲得并無損耗地傳輸到輸出的電流。電流源可以被控制電壓Vc向上或向下調節，而Vc逐周期設定電感峰值電流。控制器通過升壓轉換器開關電流感測電阻Ri來觀測電感峰值電流，并以此工作。當Ri兩端電壓與控制電壓匹配時，電源開關就被指示關閉。
如果我們現在來考慮交流電路圖，就要考慮電容及其寄生元件，如圖4所示。齊納元件自身并無影響，因為在交流調制期間其電壓保持恒定：僅其動態阻抗rLEDs需要予以考慮，融合到Rac中。如等式（5）所述。
圖4：交流模型使用跟電容模型相關的總阻抗Rac.
根據此圖，有可能表達出控制電壓被調制時的小信號輸出電壓電平：
 （8）
如前所述，電流源值取決于控制及輸出電壓。為了推導出小信號等效模型，我們解析了跟控制電壓Vc及輸出電壓Vout相關的Iout偏導數：
 （9）
結合等式（9），可以改寫等式（8）如下：
 （10）
參考資料[1] （等式1-111，第49頁）已經推導出DCM升壓轉換器直流傳遞函數，即：
 （11）
在此等式中，轉換器的直流阻抗（Rdc）必須以替代。新的等式就變成：
 （12）
我們需要根據這個等式推導出占空比（D）的等式及控制電壓Vc.在存在補償斜坡的情況下，控制電壓不再是固定的直流電壓，而是斜率會影響最終峰值電流設定點的斜坡電壓。圖5顯示了最終波形。到達峰值電流值的時間比不存在斜坡的情況下更快，就好像我們會人為增加電流控制感測電阻Ri一樣。它有降低電流控制環路增益及降低連續導電模式（CCM）下兩個極點的作用。當轉換器過渡到DCM時，仍然存在斜坡，必須予以顧及。
圖5：由于補償斜坡的緣故，峰值電流并不等于控制電壓除以Rsense.相關等式如下所示，其中考慮到了比例因數Ri，因為外部斜波Se是電壓斜波：
 （13）
可以推導出涉及至電感電流斜率的類似等式：
 （14）
解析占空比D，我們就得到：
 （15）
將這個等式代入等式（12）中，我們就解算出輸出電流Iout：
 （16）
為了獲得小信號值，我們就像等式（10）一樣，計算Iout跟控制電壓Vc和輸出電壓Vout相關的偏導數：（17）
 （18）
這個等式描述了vc的小信號模型對輸出電流的影響。
 （19）
 （20）
等式（20）表述了電流跟電壓與一個大小為電導g的系數之乘積的相關關系。
它是一個壓控電流源，如圖6所示。
圖6：等式（20）中的系數是壓控電流源，為阻抗。
由于等式（20）中的負號的緣故，電流方向被倒轉。因此，由于我們有被電壓驅動的電流源，它就相當于一個電阻，其定義如下：
 （21）
在這個簡化等式中，電流源指的是從輸入源吸收并傳輸至輸出的電能。電流源等式并不涵蓋跟轉換器工作模式相關的信息。例如，回頭看等式（16），我們并不清楚器件工作在固定頻率模式，在導通時間期間或是在關閉時間期間將電能傳輸至輸出負載，諸如此類。在缺乏這類信息的情況下，明顯要避開一些2階成分，如右半平面零點（RHPZ）。然而，從前面的分析中我們知道，DCM工作中仍然存在RHPZ，但由于它被歸為高頻，在這種情況下我們可以忽視它的存在。這種簡化方法的優勢就是能夠快速地推導出挖模型，為您提供所考慮架構的低頻特性：直流增益和極點/零點組合。可以采用的另一種方法是使用DCM電流模式升壓轉換器的小信號模型，以由圖4中元件組成的負載進行完整分析。這種方法將提供確切的結果，但會要求更多的迭代及復雜的等式。
完整交流模型既然我們已經推導出所有系數，我們就可以更新原先圖4中中所示的模型。更新的電路圖如圖7所示。R1對應于等式（20）中的系數，并可推導出與輸出電壓調制直接成正比的電流。
圖7：我們將根據這更新的交流模型圖計算出完整的傳遞函數。
為了推導所感興趣的傳遞函數，我們將簡化電路，審視電流源的負載阻抗Z.其定義如下：
 （22）
在上述等式中，Req是Rac和R1的并聯組合：
 （23）
因此，完整的傳遞函數就是等式（18）中給出的系數乘以等式（23）中的阻抗，也就是等式（22）給出的極點/零點組合阻抗Req：
 （24）
其中，
 （25）
 （26）
 （27）
推導工作點在推算交流函數之前，我們需要表達工作點及輸出電流與控制電壓Vc之間的相關性。我們知道輸出電壓等于：
 （28）
我們可將這個定義代入等式（12）中：
 （29）
根據這個等式，我們可以解析出Iout：
 （30）
我們也可以根據等式（15）替代占空比D.在這種情況下，輸出電流等式就變得很繁雜，但也很有用：
 （31）
根據這個等式，如果知道LED串電壓VZ及其動態阻抗rLEDs，我們就可以預測升壓轉換器提供的電流。我們接下來以實際示例驗證這些等式。
實際應用我們將使用下面的值來檢驗我們的計算。這是一款DCM升壓轉換器，為22 V壓降的LED串提供恒定功率。
要計算出此電流，我們假定控制電壓Vc為400 mV.我們能以等式（15）計算占空比：
 （32）
從等式（31）可以獲得輸出電流：
 （33）
然后又可以快速計算出輸出電壓：
 （34）
等式（21）中計算的額外電阻R1的值計算如下：
 （35）
當R1與Rac并聯時，參照等式（23），就變成：
 （36）
我們現在可以計算靜態增益H0：
 （37）
推導出的極點和零點如下：
 （38）
 （39）
可以運行SPICE仿真來檢驗此偏置點的有效性。我們使用了參考資料[1]中第161頁推導出的大信號自動觸發電流模型。電路圖及反射的偏置點如圖8所示。在此電路圖中，為了獲得正確的動態阻抗的工作電壓，我們使用簡單的分流穩壓器模仿完美齊納二極管的工作。這完美二極管提供22 V的擊穿電壓VZ，其動態阻抗為55。應當注意的是，簡單的22 V直流源就能用于交流分析，但在諸如啟動等任何瞬態仿真條件下就不適用。當運行交流掃描分時，SPICE將工作點周圍的電路線性化，并產生小信號模型。電路圖中顯示的結果跟我們根據解析分析獲得的結果相距不遠。控制電壓為0.4 V條件下感測電阻電流到達，接近于等式（33）中計算出的值。
受控系統波特圖如圖9所示。直接增益接近于等式（37）的計算結果，極點位于恰當位置（1.6 kHz）。相位持續下降是因為高頻RHPZ位于高頻率。我們的簡化方法無法預測這RHPZ的存在。它存在與否跟拓撲結構的布設有關：升壓轉換器在導通時間期間先在電感中存儲電源能量，并在關閉期間將其泄放給負載。任何負載變化，如輸出電流增加，必須首先通過電感躍升，然后再提供給輸出。這種工作模式固有的延遲通過RHPZ來建模。這能量傳輸延遲并不會明顯地出現在等式（16）中，因為該等式簡單地電流與控制電壓Vc之間的關系。但在DCM條件下，等式（38）中定義的左半平面零點（LHPZ）在顯著高于工作頻率Fsw的頻率時出現。
應當注意的是，我們在實際對LED電流進行穩流的時候分析了輸出電壓。在我們觀測感測電阻Rsense兩端的電壓時，反饋信號是Vout按由rLEDs和Rsense構成的分壓比例向下調節。比例調整就變為：
 （40）
這個曲線也表征在圖8中。
圖8：平均模型幫助驗證工作偏置點及交流響應。
圖9：波特圖確認了直流增益及極點位置。
結論
這第1部分的文章介紹如何推導驅動LED串的升壓轉換器的小信號響應。本文沒有應用DCM升壓轉換器的完整小信號模型，而是推導簡單的等式，描述采用不連續導電模式工作的LED升壓轉換器的一階響應。盡管存在一階的固有局限，簡要分析獲得的答案是足以穩定控制環路。在第2部分（實際考慮因素）文章中，我們將深入研究實施方案，并驗證經驗結果及與理論推導比較。
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